沉默稳定定理

大音希声，大象无形；胜者无迹，故无可乘。

总结

好像推了个简单的定理出来, 姑且叫 沉默稳定定理 吧.

Theorem

在可伪造、非承诺、利益冲突的消耗战中，若信号本身有成本，解读信号也有成本，则唯一严格稳定且不可剥削的信号结构是：

$(a^{\ast },b^{\ast })=(不发信号,不解读信号)$

对任意其它策略：

$(a,b)\ne (a^{\ast },b^{\ast })$

都有：

$(a,b)\text{ 可剥削 }\vee (a,b)\text{ 不稳定}$

信号若有用, 就会被伪造;
信号若无用, 就没人发出;
没人发信号, 解读机制就只剩成本;
所以稳定状态只能是沉默.

1. 基本对象

1.1 信号空间

令：

$$M$$

表示所有非空信号。

例如：

$$M=\{\text{竖毛},\text{抖胡须},\text{叫声},\dots \}$$

加入一个特殊符号：

$$\varnothing$$

表示“不发信号”。

完整信号空间为：

$$M_0=M\cup \{\varnothing \}$$

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1.2 行动空间

令：

$$X$$

表示真实行动空间。

在消耗战里，可以理解为：

$$x=\text{准备坚持的时间}$$

或者更一般地，$x$ 是真实的对抗行动。

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1.3 底层收益函数

令：

$$u:X\times X\to \mathbb{R}$$

表示真实行动带来的收益。

如果自己采取行动 $x$，对方采取行动 $y$，自己的底层收益为：

$$u(x,y)$$

这里的 $u$ 可以包含全部交叉影响，例如：

• 谁坚持更久；
• 谁获得资源；
• 谁付出时间成本；
• 双方行动组合带来的收益差异。

我们不把这些影响拆成几个简单相加的项。

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2. 无信号基准行为

设无信号消耗战中的基准稳定行动分布为：

$$q^{\ast }\in \Delta (X)$$

当没有任何信号时，个体按照 $q^{\ast }$ 行动。

定义：

$$V_0={\mathbb{E}}_{x\sim q^{\ast }}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]$$

这是无信号基准收益。

我们需要一个底层稳定假设：

$${\mathbb{E}}_{x\sim q}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]\le {\mathbb{E}}_{x\sim q^{\ast }}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]=V_0$$

对任意：

$$q\in \Delta (X)$$

成立。

也就是：

$$q^{\ast }$$

在无信号消耗战中不可被单方行动偏离剥削。

如果要得到严格稳定，则再假设：

$$q\ne q^{\ast }\Rightarrow {\mathbb{E}}_{x\sim q}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]<V_0$$

这表示 $q^{\ast }$ 是底层严格稳定行为。

道金斯那段“退却时间不能被预估”的意思，正是在说明消耗战里稳定行为不是固定行动，而是某种不可预知的随机行动。任何提前暴露未来行为的迹象都会被利用。

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3. 策略

一个完整策略写作：

$$s=(a,b)$$

其中 $a$ 是发信号规则，$b$ 是行动规则。

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3.1 发信号规则

在这个简化模型里，发信号规则就是一个分布：

$$a\in \Delta (M_0)$$

玩家按：

$$m\sim a$$

发出信号。

特殊规则：

$$a^{\ast }={\delta }_{\varnothing }$$

即：

$$a^{\ast }(\varnothing )=1$$

所以：

$$a^{\ast }=\text{永远不发信号}$$

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3.2 行动 / 解读规则

行动规则写成：

$$b:M_0\times M_0\to \Delta (X)$$

其中：

$$b(m,n)$$

表示：

自己发出了 $m$，观察到对方发出了 $n$，然后采取的行动分布。

这里第一项 $m$ 是自己的信号，第二项 $n$ 是对方的信号。

这样可以表达信号和后续行动的绑定。

例如：

$$b(h,n)=\text{高坚持时间分布}$$

表示发出 $h$ 之后真的死磕。

而：

$$b(h,n)=\text{低坚持时间分布}$$

表示发出 $h$ 之后其实不死磕。

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3.3 无信号归一化

为了让模型只研究“信号层”，我们规定：

$$b(\varnothing ,\varnothing )=q^{\ast }$$

意思是：

如果双方都没有发信号，那么行动回到无信号基准行为。

否则，某个策略可以通过 $b(\varnothing ,\varnothing )\ne q^{\ast }$ 改变底层行动，这就不是信号问题了，而是在换一个消耗战策略。

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3.4 不解读信号规则

定义：

$$b^{\ast }(m,n)=q^{\ast },\forall m,n\in M_0$$

也就是：

$$b^{\ast }=\text{无论自己发了什么、对方发了什么，都执行无信号基准行为}$$

扑克脸策略为：

$$s^{\ast }=(a^{\ast },b^{\ast })$$

即：

$$s^{\ast }=\text{不发信号，也不解读信号}$$

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4. 成本

4.1 信号成本

定义信号成本：

$$c:M_0\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$$

满足：

$$c(\varnothing )=0$$

并且：

$$c(m)>0,\forall m\in M$$

发信号分布 $a$ 的期望成本为：

$$C(a)={\mathbb{E}}_{m\sim a}[c(m)]$$

所以：

$$C(a^{\ast })=0$$

若：

$$a\ne a^{\ast }$$

则：

$$C(a)>0$$

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4.2 规则成本

定义行动 / 解读规则成本：

$$d:B\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$$

满足：

$$d(b^{\ast })=0$$

并且：

$$d(b)>0,\forall b\ne b^{\ast }$$

这里 $d(b)$ 可以理解为：

• 维护信号—行动对应关系的成本；
• 认知成本；
• 误判风险；
• 策略复杂度成本。

如果不接受这条假设，那么可以得到弱稳定，但不能得到唯一严格稳定。

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5. 总期望收益

设玩家 1 使用：

$$s=(a,b)$$

玩家 2 使用：

$$t=(\alpha ,\beta )$$

过程如下：

玩家 1 发出：

$$m\sim a$$

玩家 2 发出：

$$n\sim \alpha$$

玩家 1 行动：

$$x\sim b(m,n)$$

玩家 2 行动：

$$y\sim \beta (n,m)$$

注意玩家 2 的行动规则写作 $\beta (n,m)$，因为对玩家 2 来说，$n$ 是自己的信号，$m$ 是对方的信号。

于是玩家 1 的期望收益定义为：

$$U((a,b),(\alpha ,\beta ))={\mathbb{E}}_{m\sim a}{\mathbb{E}}_{n\sim \alpha }{\mathbb{E}}_{x\sim b(m,n)}{\mathbb{E}}_{y\sim \beta (n,m)}\left[u(x,y)-c(m)\right]-d(b)$$

这个式子没有把收益强行拆成“发送影响 + 解读影响”。

所有交叉影响都留在：

$$u(x,y)$$

里面。

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6. 稳定、不可剥削、可剥削

6.1 严格稳定

策略 $s$ 称为严格稳定，如果对任意：

$$t\ne s$$

都有：

$$U(s,s)>U(t,s)$$

意思是：

当种群全都使用 $s$ 时，任何突变策略 $t$ 都不能入侵。

如果存在：

$$t\ne s$$

使得：

$$U(t,s)\ge U(s,s)$$

则称 $s$ 不稳定。

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6.2 不可剥削

策略 $s$ 称为不可剥削，如果对任意策略 $t$，都有：

$$U(t,s)\le U(s,s)$$

意思是：

没有任何外部策略能在面对 $s$ 时获得高于 $s$ 自身的收益。

严格稳定蕴含不可剥削。

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6.3 信号可剥削

策略 $s$ 称为信号可剥削，如果存在某个发信号分布 $\tilde{a}$ 和某个行动规则 $\beta$，使得：

$$U((\tilde{a},\beta ),s)>U((a^{\ast },\beta ),s)$$

意思是：

面对 $s$，某个突变者在保持同一套信号—行动规则 $\beta$ 的前提下，选择发出信号，比选择沉默更有利。

这正好表达“你的信号系统给了对方一个可利用入口”。

若对任意：

$$\tilde{a},\beta$$

都有：

$$U((\tilde{a},\beta ),s)\le U((a^{\ast },\beta ),s)$$

则称 $s$ 信号不可剥削。

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7. 定理

在上述模型与假设下：

$$s^{\ast }=(a^{\ast },b^{\ast })$$

严格稳定，且不可剥削。

并且，对任意：

$$s=(a,b)\ne s^{\ast }$$

都有：

$$s\text{ 信号可剥削}$$

或者：

$$s\text{ 不稳定}$$

即：

$$\forall s\ne s^{\ast },s\text{ 信号可剥削 }\vee s\text{ 不稳定}$$

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8. 证明第一部分：$s^{\ast }=(a^{\ast },b^{\ast })$ 稳定且不可剥削

先计算：

$$U(s^{\ast },s^{\ast })$$

双方都使用：

$$a^{\ast }={\delta }_{\varnothing }$$

所以：

$$m=n=\varnothing$$

双方都使用：

$$b^{\ast }(m,n)=q^{\ast }$$

所以：

$$x\sim q^{\ast }$$ $$y\sim q^{\ast }$$

且：

$$c(\varnothing )=0$$ $$d(b^{\ast })=0$$

因此：

$$U(s^{\ast },s^{\ast })={\mathbb{E}}_{x\sim q^{\ast }}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]=V_0$$

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现在取任意突变策略：

$$t=(a,b)$$

计算：

$$U(t,s^{\ast })=U((a,b),(a^{\ast },b^{\ast }))$$

因为对方使用 $a^{\ast }$，所以：

$$n=\varnothing$$

因为对方使用 $b^{\ast }$，所以无论自己发出什么 $m$，对方行动都是：

$$y\sim q^{\ast }$$

突变者自己的行动分布由：

$$m\sim a,x\sim b(m,\varnothing )$$

共同决定。

把突变者面对无信号对手时诱导出的行动分布记为：

$$q_{a,b}=\sum _{m\in M_0}a(m)b(m,\varnothing )$$

这是一个 $X$ 上的分布。

于是：

$$U(t,s^{\ast })={\mathbb{E}}_{x\sim q_{a,b}}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]-C(a)-d(b)$$

由底层稳定假设：

$${\mathbb{E}}_{x\sim q_{a,b}}{\mathbb{E}}_{y\sim q^{\ast }}[u(x,y)]\le V_0$$

所以：

$$U(t,s^{\ast })\le V_0-C(a)-d(b)\le V_0$$

而：

$$U(s^{\ast },s^{\ast })=V_0$$

因此：

$$U(t,s^{\ast })\le U(s^{\ast },s^{\ast })$$

所以：

$$s^{\ast }\text{ 不可剥削}$$

若：

$$t\ne s^{\ast }$$

则至少有：

$$a\ne a^{\ast }$$

或：

$$b\ne b^{\ast }$$

如果 $a\ne a^{\ast }$，则：

$$C(a)>0$$

如果 $b\ne b^{\ast }$，则：

$$d(b)>0$$

因此：

$$C(a)+d(b)>0$$

再结合底层稳定假设，得到：

$$U(t,s^{\ast })<V_0=U(s^{\ast },s^{\ast })$$

所以：

$$s^{\ast }\text{ 严格稳定}$$

第一部分证毕。

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9. 证明第二部分：其它策略要么可剥削，要么不稳定

取任意：

$$s=(a,b)\ne s^{\ast }$$

分两种情况。

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情况一：$s$ 信号可剥削

如果存在：

$$\tilde{a},\beta$$

使得：

$$U((\tilde{a},\beta ),s)>U((a^{\ast },\beta ),s)$$

那么按照定义：

$$s\text{ 信号可剥削}$$

结论成立。

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情况二：$s$ 信号不可剥削

现在假设 $s$ 信号不可剥削。

即：

$$\forall \tilde{a},\beta ,U((\tilde{a},\beta ),s)\le U((a^{\ast },\beta ),s)$$

因为：

$$s\ne s^{\ast }$$

所以分两种可能。

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情况二 A：$a\ne a^{\ast }$

考虑突变策略：

$$\bar{s}=(a^{\ast },b)$$

它和 $s=(a,b)$ 使用同一个行动规则 $b$，但不发信号。

由信号不可剥削定义，对任意 $\tilde{a},\beta$ 有：

$$U((\tilde{a},\beta ),s)\le U((a^{\ast },\beta ),s)$$

令：

$$\tilde{a}=a$$ $$\beta =b$$

得到：

$$U((a,b),s)\le U((a^{\ast },b),s)$$

也就是：

$$U(s,s)\le U(\bar{s},s)$$

且：

$$\bar{s}\ne s$$

因为：

$$a\ne a^{\ast }$$

于是存在突变体 $\bar{s}\ne s$，使得：

$$U(\bar{s},s)\ge U(s,s)$$

这违反严格稳定定义。

所以：

$$s\text{ 不不稳定}$$

直觉是：

如果面对 $s$，任何发信号都不比沉默更好，那么一个“不发信号但保留同样行动规则”的突变体至少不差。

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情况二 B：$a=a^{\ast }$，但 $b\ne b^{\ast }$

此时：

$$s=(a^{\ast },b)$$

也就是：自己不发信号，但保留一个非平凡行动 / 解读规则。

因为双方都不发信号，所以：

$$m=n=\varnothing$$

根据无信号归一化：

$$b(\varnothing ,\varnothing )=q^{\ast }$$

所以：

$$x\sim q^{\ast }$$ $$y\sim q^{\ast }$$

因此：

$$U(s,s)=V_0-d(b)$$

由于：

$$b\ne b^{\ast }$$

所以：

$$d(b)>0$$

于是：

$$U(s,s)<V_0$$

现在考虑扑克脸突变体：

$$s^{\ast }=(a^{\ast },b^{\ast })$$

它面对 $s$ 时，双方仍然都不发信号：

$$m=n=\varnothing$$

双方行动仍为：

$$q^{\ast }$$

但扑克脸没有规则成本：

$$d(b^{\ast })=0$$

所以：

$$U(s^{\ast },s)=V_0$$

于是：

$$U(s^{\ast },s)=V_0>V_0-d(b)=U(s,s)$$

因此：

$$s\text{ 不稳定}$$

第二部分证毕。

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10. 结论

在这个更适合表达“诚实 / 说谎”的模型里：

$$x\sim b(m,n)$$

即行动同时依赖于自己的信号和对方信号。

这时仍然可以证明：

$$\boxed{s^{\ast }=(a^{\ast },b^{\ast })\text{ 严格稳定且不可剥削}}$$

并且：

$$\boxed{\forall s\ne s^{\ast },s\text{ 信号可剥削或不稳定}}$$

其中：

$$a^{\ast }={\delta }_{\varnothing }$$

表示：

$$\text{永远不发信号}$$ $$b^{\ast }(m,n)=q^{\ast }$$

表示：

$$\text{不管自己发了什么，也不管对方发了什么，都不根据信号改变行动}$$

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11. 这个模型如何表达“诚实 / 说谎”

设：

$$h\in M$$

表示“竖毛”。

设：

$$X_H\subseteq X$$

表示“死磕行动”，例如坚持时间超过某个阈值。

那么：

诚实竖毛

$$b(h,n)(X_H)\approx 1$$

表示：

一旦自己发出 $h$，之后确实采取死磕行动。

此时 $h$ 是诚实信号。

虚假竖毛

$$b(h,n)(X_H)\approx 0$$

表示：

自己发出 $h$，但之后并不真的死磕。

此时 $h$ 是虚假信号。

不动声色

$$a=a^{\ast }$$

表示：

根本不发 $h$，也不发任何其它信号。

并且：

$$b=b^{\ast }$$

表示：

即使看到别人发 $h$，也不改变自己的行动。

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所以，你这个改法是成立的。

它比上一版更好的一点是：

$$b(m,n)$$

可以直接把“自己发了什么”和“自己之后做什么”绑定起来。

这样“诚实”不再依赖外生状态 $\Theta$，而是变成一个内生关系：

$$\text{信号 }m\text{与}\text{后续行动 }x\text{是否一致}$$

最后的证明结构仍然不变：

$$\text{信号若有利，就可被利用；}$$ $$\text{信号若无利，发信号者会被沉默者替代；}$$ $$\text{不发信号却保留解读规则，则规则闲置且有成本；}$$ $$\therefore \boxed{(a^{\ast },b^{\ast })}$$

稳定且不可剥削。

每个时刻随机有一定的退让概率.